에르미트 보간

같은 두 점도 다른 곡선을 만든다

두 지점의 값만 주면 직선 보간을 만들 수 있지만 두 끝의 기울기까지 주면 일반적으로 더 높은 차수가 필요하다. 기울기는 곡선이 지점을 어떤 방향으로 통과하는지를 정한다. 값이 같다는 이유만으로 모든 보간 곡선이 같아지는 것은 아니다.

네 조건으로 삼차식을 정하기

P(0)=1, P(2)=5, P′(0)=0, P′(2)=0을 만족시키자. P(x)=a+bx+cx²+dx³로 쓰면 a=1, b=0이다. 남은 식은 4c+8d=4와 4c+12d=0이므로 d=-1, c=3이다. 따라서 P(x)=1+3x²-x³다.

직선 보간과 비교하기

같은 끝점을 잇는 직선은 1+2x로 두 끝의 기울기가 모두 2다. 에르미트 예제는 양 끝에서 기울기가 0이므로 직선과 다르다. x=1/2에서는 삼차식이 13/8, 직선이 2다. 두 곡선이 끝점을 통과한다는 사실만으로 중간 값까지 일치하지 않는다.

전역 다항식과 구간별 보간

여러 점을 하나의 다항식으로 모두 맞추는 방식과 구간마다 삼차식을 연결하는 방식은 구별한다. 점이 많아 전역 다항식의 차수가 높아지면 지점 사이에서 진동이 커질 수 있다. PCHIP처럼 데이터로 기울기를 정하는 구간별 방법과, 도함수 값을 직접 주는 문제의 차이도 확인해야 한다.