이산시간 리아푸노프 방정식

한 단계의 갱신과 균형

상태가 다음 단계에 A배가 되는 모형에서는 이차 형식이나 공분산을 갱신할 때 A가 양쪽에 곱해지는 구조가 나타난다. AXAᵀ-X+Q=0은 X=AXAᵀ+Q로도 쓸 수 있다. 연속시간 식의 AX+XAᵀ와는 곱의 형태가 다르다. 복소수 모형에서는 켤레전치를 사용하며 안정성 분석에 쓰는 AᵀPA-P=-Q 형태와도 표기를 구분한다.

일차원의 계산

A=1/2, Q=1인 일차원 방정식은 X/4-X+1=0이다. 따라서 X=4/3이다. 상태 x가 다음 단계에 x/2가 될 때 V(x)=4x²/3으로 두면 한 단계의 차이는 V(x/2)-V(x)=-x²이다. 이 예제에서는 원점이 아닌 상태에서 양의 이차 형식이 매 단계 감소한다.

정상 공분산의 예제

x의 다음 값이 x/2에 평균 0, 분산 1인 새로운 잡음을 더한 값이라고 하자. 새 잡음이 현재 상태와 독립이면 분산 갱신은 v다음=v/4+1이다. 정상 상태에서는 v다음=v이므로 분산은 4/3이다. 평균, 독립성과 정상성 가정이 필요한 계산이며, 임의의 시계열에서 같은 분산을 얻는다는 뜻은 아니다.

해의 부호와 안정성

A=2, Q=1로 바꾸면 4X-X+1=0의 해는 -1/3이다. 방정식의 해는 존재하지만 이를 분산으로 사용할 수는 없다. 해가 계산됐다는 사실과 필요한 양의 정부호 조건, 동역학계의 안정성은 구분해야 한다. 수치 계산에서는 AXAᵀ-X+Q의 잔차와 대칭성을 확인하고, 작은 입력 변화가 해에 미치는 민감도도 검토한다.