곱셈을 여러 번 펼치기
(a+b)³은 (a+b)를 세 번 곱한 식이다. 전개된 각 항은 세 괄호에서 각각 a 또는 b를 하나씩 고른 결과다. b를 한 번 고르는 자리는 세 곳이므로 a²b의 계수는 3이다. 마찬가지로 ab²의 계수도 3이고 전개식은 a³+3a²b+3ab²+b³이다.
조합이 계수가 되는 이유
n개의 괄호 중 b를 고를 k개 위치를 정하면 나머지는 a를 고른다. 선택한 순서가 아니라 어느 위치를 선택했는지만 중요하므로 계수는 조합의 수다. 각 항에서 a와 b의 지수 합은 항상 n이다.
계수를 더해 보기
전개식에서 a와 b에 모두 1을 대입하면 왼쪽은 2ⁿ이 된다. 오른쪽에는 모든 이항 계수의 합이 남는다. 이는 n개 원소의 부분집합을 크기별로 나누어 센 결과를 모두 더하는 것과 같은 구조다.
적용 범위 확인하기
기본적인 유한 전개는 지수가 음이 아닌 정수일 때 사용한다. 음수나 정수가 아닌 지수로 확장한 전개는 일반적으로 무한급수가 되며 수렴 조건을 따져야 한다. 또한 행렬처럼 곱셈의 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 대상에는 보통의 계수 공식을 무조건 적용할 수 없다.