초과량의 분포식
이동을 제외한 초과량 y에 대해 σ>0으로 두자. ξ≠0에서 생존함수는 P(Y>y)=(1+ξy/σ)^(−1/ξ)이며 y≥0과 1+ξy/σ>0인 내부에서 사용한다. ξ가 0이면 지수분포의 exp(−y/σ)가 된다. 형상이 음수면 −σ/ξ라는 유한한 상한이 생기고, 양수면 위쪽으로 무한한 범위를 갖는다.
형상과 상한의 예
σ=4, ξ=−0.5이면 초과량의 상한은 8이다. y=2에서 생존확률은 (1−0.5×2/4)²=0.5625다. ξ=0이고 같은 척도를 쓰면 y=2의 생존확률은 exp(−0.5)로 약 0.607이다. 척도가 같아도 형상에 따라 꼬리 확률이 달라지므로 척도 하나만 비교해서는 분포의 차이를 판단할 수 없다.
조건부와 전체 확률
관측 X가 기준 u를 넘었다는 조건에서 Y=X−u를 모형화한다면 GPD의 확률은 초과 관측 안에서의 조건부 확률이다. 예를 들어 전체 관측의 10%가 u를 넘고, 그중 20%가 추가 초과량 y보다 크다면 전체에서 u+y를 넘을 확률은 0.1×0.2=0.02다. 초과량 모형의 20%를 전체의 확률로 그대로 읽으면 다른 값이 된다.
특수형과 적합의 한계
형상 ξ=−1이면 이동을 제외한 구간 [0,σ]의 균등분포가 된다. 하지만 자료에 맞추어 얻은 형상을 근거로 현실의 절대 상한을 확정할 수는 없다. 초과 기준을 선택하는 방식, 관측의 의존성과 표본 수에 따라 추정이 달라질 수 있다. 구간별 최댓값을 다루는 일반화 극값 분포와 기준 초과량을 다루는 모형은 분석 자료의 구성부터 구분해야 한다.