해를 바꾸지 않고 계를 바꾼다
가역 전처리 행렬을 M이라 할 때 왼쪽 전처리는 M⁻¹Ax = M⁻¹b를 푸는 형태다. 정확한 산술에서는 원래 Ax = b와 같은 해를 갖는다. 실제로 M⁻¹을 모두 저장해야 한다는 뜻은 아니며 필요한 벡터 r에 대해 Mz = r을 푸는 방식으로 적용할 수 있다.
대각 스케일의 예
A의 대각 원소가 2와 1000, b = (4,3000)이라고 하자. 이차 노름 조건수는 500이고 해는 (2,3)이다. M을 같은 대각행렬로 선택하면 M⁻¹A는 단위행렬, M⁻¹b는 (2,3)이 된다. 이 예에서는 성분별 나눗셈만으로 전처리를 적용할 수 있다.
완벽한 전처리가 늘 저렴하지는 않다
일반적인 복잡한 A에서 M = A로 정하면 전처리를 적용하는 일이 원래 계를 푸는 일만큼 어려울 수 있다. 따라서 실제로는 단순한 대각 성분이나 불완전 분해 등을 이용한다. 전처리 후 반복 수가 줄어도 구성과 적용이 비싸면 전체 시간은 늘 수 있다.
계산법의 조건을 보존한다
전처리 방식에는 왼쪽, 오른쪽, 대칭 변환 등이 있다. 기본 켤레기울기법처럼 대칭 양의 정부호 조건을 요구하는 풀이에서는 그 구조에 맞는 구성을 사용한다. 전처리된 계의 잔차와 원래 계의 잔차도 구분하여 원하는 정확도를 확인한다.
관련 문서
켤레기울기법 / 행렬 조건수 / 희소행렬 / 촐레스키 분해 / LU 분해 / 양의 정부호 행렬 / 단위행렬 / 부동 소수점