입력에 대해 아핀이라는 뜻
상태 x를 고정하면 입력 u에 따른 변화율은 행렬과 입력의 곱에 상수 벡터를 더한 꼴이다. f₀는 입력을 0으로 두어도 남는 드리프트이고, fᵢ는 각 입력이 더하는 벡터장이다. fᵢ가 상태에 따라 달라져도 된다. 예를 들어 ẋ=x²+(sin x)u는 제어 아핀이지만 ẋ=x²+u²는 원래 입력 u에 대해서는 이 표준형이 아니다.
역학의 드리프트 예제
질량 2인 물체의 상태를 위치 p와 속도 v로 두고 힘 u를 입력하면 ṗ=v, v̇=u/2다. 벡터로 쓰면 (ṗ,v̇)=(v,0)+(0,1/2)u다. 힘을 0으로 만들어도 v가 0이 아니면 위치는 계속 변한다. 입력이 없다는 사실과 상태가 정지한다는 사실은 다르며, 이 예제의 드리프트가 그 차이를 보여 준다.
드리프트 없는 경우
f₀가 항등적으로 0이면 입력 벡터장들의 선형결합으로 속도를 표현한다. 평면 이동 로봇의 단순 모델은 (ẋ,ẏ,θ̇)=(cosθ,sinθ,0)v+(0,0,1)ω다. 같은 입력이라도 방향 θ에 따라 세계 좌표에서의 이동 방향이 달라진다. 상태 의존 계수 때문에 선형 시스템의 행렬 이론을 그대로 적용할 수는 없다.
허용 입력 집합의 중요성
같은 방정식이라도 입력 범위가 달라지면 가능한 운동이 달라진다. v와 ω를 독립적으로 제한하는 로봇과, 자동차처럼 전진 속도에 따라 회전 속도가 제한되는 로봇을 같은 것으로 취급하지 않는다. 입력 변수를 바꾸어 수식을 단순화할 때에는 원래 허용 집합도 함께 변환해야 한다. 제어 가능성이나 경로 실행 가능성을 볼 때 형식과 제약을 같이 확인한다.
관련 문서
벡터장의 리 괄호 / 리 대수 계수 조건 / 비홀로노믹 이동 로봇 / 로봇 순동역학 / 소시간 국소 제어 가능성 / 선형 시스템