기준 배치를 먼저 정하기
고정 공간 좌표계에서 관절 값이 모두 0일 때의 말단 변환을 M으로 둔다. 같은 배치에서 각 관절 나사축 Sᵢ를 구한다. 회전 관절에서는 축 방향 단위벡터 ω와 축 위의 점 r를 이용해 선형 성분 v=−ω×r를 정한다. 순수 직동 관절은 각 성분이 0이고 선형 성분이 이동 방향 단위벡터다.
곱의 순서
공간형 공식은 밑동에서 말단으로 번호를 붙인 관절 순서대로 지수행렬을 나열하고 마지막에 M을 곱한다. 기준 배치의 고정된 축들을 쓰더라도 앞선 변환들의 곱이 뒤 관절에 미치는 영향을 포함한다. 일반적으로 행렬 곱은 교환되지 않으므로 순서를 바꿀 수 없다. 벡터에 작용하는 오른쪽 행렬부터 계산된다는 사실과 관절 번호의 나열을 혼동하지 않는다.
회전과 이동 예제
M을 단위행렬로 두고 원점의 z축 회전 관절 뒤에 x방향 직동 관절이 있다고 하자. 공간형 곱 R_z(θ)T_x(d)의 위치는 (d cosθ,d sinθ,0)이다. θ=π/2,d=2이면 위치는 (0,2,0)이다. 순서를 바꾼 T_x(d)R_z(θ)의 위치는 (2,0,0)이므로 같은 관절 값이라도 합성 순서가 중요하다.
기준 값과 단위
모든 관절 값이 0이면 각 지수행렬이 단위행렬이 되어 T(0)=M이 성립한다. 회전 관절 값은 보통 라디안이고 직동 관절 값은 길이이므로 축의 정규화와 단위를 일관되게 정해야 한다. 이 공식은 주어진 관절 값의 말단 배치를 계산한다. 목표 배치를 만드는 관절 값을 찾는 역기구학이나 힘·토크를 구하는 동역학 문제는 별도로 다룬다.
관련 문서
강체변환의 지수좌표 / 강체 변환 / 행렬 지수 / 트위스트 (로봇공학) / 수치적 역기구학 / 로봇 자코비안