파스칼 행렬

삼각형과 대칭형

행과 열 번호를 0부터 시작한다고 하자. 아래삼각형 형태 L의 원소는 j≤i에서 조합 C(i,j), 나머지는 0으로 둔다. 대칭형 P의 원소는 C(i+j,i)로 둘 수 있다. 두 행렬은 같은 이름으로 불리지만 원소의 배치가 다르다. 위삼각형 형태는 아래삼각형 형태의 전치로 얻을 수 있다.

크기 3의 계산

아래삼각형 L의 세 행은 (1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)이다. L과 Lᵀ를 곱하면 세 행이 (1,1,1),(1,2,3),(1,3,6)인 대칭형 P를 얻는다. 예를 들어 두 번째 행과 세 번째 행의 내적은 1×1+1×2=3이다. 계수를 삼각형으로 나열하는 것과, 행 사이 내적으로 대칭형을 만드는 관계를 직접 확인할 수 있다.

분해에서 보이는 성질

앞 예제의 L은 대각이 모두 1인 가역 아래삼각 행렬이다. P=LLᵀ이므로 0이 아닌 실수 벡터 x에 대해 xᵀPx=||Lᵀx||²>0이다. 따라서 이 P는 양의 정부호다. 행렬식도 det(L)²=1이다. 작은 정수만으로 구성된 예제에서 대칭성, 양의 정부호와 삼각 인자 사이의 관계를 함께 살펴볼 수 있다.

정확한 정수와 수치 표현

이항계수는 크기가 커지면서 빠르게 증가할 수 있다. 행렬을 정확한 정수로 구성한 경우와 부동소수점 근사로 구성한 경우를 구분해야 한다. 원소가 정수라는 사실만으로 고정 길이 정수형에서 넘침이 없거나 수치 계산이 항상 안정적이라는 뜻은 아니다. 계산 도구의 반환 형식과 정확도 정책을 확인하고 선택한 파스칼 행렬 형태도 함께 명시한다.