행렬 제곱근

원소별 제곱근과 다르다

X의 두 행이 (2,1),(0,2)이면 X²의 두 행은 (4,4),(0,4)이다. 이 결과 행렬 A의 원소마다 제곱근을 취하면 두 행이 (2,2),(0,2)인 다른 행렬이 된다. 그 행렬을 제곱하면 비대각 원소는 8이 되어 A를 얻지 못한다. 행렬 제곱에서는 서로 다른 원소의 곱이 함께 더해지기 때문이다.

여러 제곱근과 선택

X가 A의 제곱근이면 -X도 제곱하면 A가 된다. 따라서 행렬 제곱근이 언제나 하나뿐인 것은 아니다. 대칭 양의 정부호 행렬에서는 대칭 양의 정부호인 제곱근을 유일하게 고를 수 있다. 대각 행렬의 양의 대각 원소에 양의 제곱근을 취하는 경우가 간단한 예다. 일반 행렬에서는 어떤 종류의 해를 선택했는지를 확인해야 한다.

실수와 복소수

실수 행렬의 제곱근을 계산한다고 해서 특정 계산법이 반드시 실수 행렬을 반환하는 것은 아니다. 반대로 음의 고유값이 있다는 이유만으로 실수 제곱근이 전혀 없다고 단정할 수도 없다. 예를 들어 두 행이 (0,-1),(1,0)인 실수 행렬을 제곱하면 -I이다. 음의 단위행렬이 실수 제곱근을 가지는 예제이며, 일반적인 존재 조건을 대신하는 규칙은 아니다.

수치 계산의 확인

모든 정사각 행렬에 제곱근이 존재하는 것은 아니다. 슈어 분해 등을 사용하는 알고리즘도 반환 가능한 해의 범위가 있으므로 결과의 종류와 조건을 확인한다. 계산한 X에 대해 X²와 A의 차이를 비교할 수 있지만 작은 잔차만으로 문제의 민감도가 낮다고 보장되지는 않는다. 단순히 원소별 제곱근을 적용한 결과를 행렬 제곱근으로 사용해서는 안 된다.