행의 크기를 맞추기
두 식이 1000x+1000y=3000, x+2y=5라고 하자. 첫 식 전체를 1000으로 나누면 x+y=3, x+2y=5가 된다. 계수만 줄이는 것이 아니라 우변 3000도 3으로 바꿔야 같은 문제다. 두 시스템의 해는 모두 (1,2)다.
열 스케일은 변수도 바꾼다
앞의 조정된 시스템에서 x=2u로 놓으면 2u+y=3, 2u+2y=5다. 해는 (u,y)=(1/2,2)이며 원래 변수는 x=1로 복원한다. 새 시스템의 해 벡터를 그대로 원래 해로 보고하면 값이 달라진다.
행렬로 적는 변환
순열을 제외한 기본 표현은 B=RAC, d=Rb, x=Cy다. R과 C는 0이 아닌 대각 원소를 갖는 스케일 행렬이다. By=d를 푼 뒤 x를 복원한다. 이 변환은 일반적으로 닮음 변환이 아니므로 원래 행렬의 고유값까지 보존한다고 생각하면 안 된다.
원래 문제에서 다시 검사하기
스케일이 달라지면 잔차의 크기도 달라진다. 예제에서 첫 식을 1000으로 나눈 시스템의 첫 잔차가 1/1000이면 원래 첫 식의 잔차는 1이다. 따라서 조정된 시스템의 종료 기준만 확인하지 말고 복원한 해로 원래 Ax=b의 잔차도 계산한다.
관련 문서
행렬 조건수 / 전처리 (수치해석) / 후방 오차 / 대각행렬 / 연립방정식 / 불완전 LU 분해 / GMRES