상관계수들을 따로 뽑는 것과 다르다
상관행렬은 각 원소가 −1부터 1 사이라는 조건만으로 완성되지 않는다. 행렬 전체가 양의 정부호여야 한다. LKJ는 이 유효한 행렬들의 공간에서 정의된다. η=1이면 그 공간에서 밀도가 일정하지만,행렬 원소를 각각 독립 균등분포에서 뽑아도 된다는 뜻은 아니다. 차원이 늘어나면 가능한 원소 조합에 제약이 생긴다.
두 변수의 밀도 예
2×2 상관행렬은 대각이 1이고 비대각이 ρ이며 행렬식은 1−ρ²다. 따라서 밀도는 (1−ρ²)^(η−1)에 비례한다. η=2이면 ρ=0의 비례 밀도는 1이고 ρ=0.8에서는 0.36이므로 두 밀도의 비는 25/9다. 이는 한 점의 확률 비가 아니라 밀도의 비다. η를 1보다 크게 하면 단위행렬 부근을 더 선호하는 형태가 된다.
개별 상관계수가 모두 가능해 보여도
3×3 행렬의 비대각 세 값을 a,b,c라 하면 행렬식은 1+2abc−a²−b²−c²다. a=b=0.9,c=−0.9이면 −2.888로 음수라 유효한 상관행렬이 아니다. 반면 세 값을 모두 0.9로 두면 행렬식은 0.028이다. 개별 값이 같은 범위 안에 있다는 사실보다 행렬 전체의 일관성이 중요하다는 예다.
촐레스키 인자와 공분산
계산에서는 R=LLᵀ의 촐레스키 인자를 사용해 상관행렬을 표현할 수 있다. R에 대한 밀도가 일정한 경우에도 L 좌표의 밀도가 일정하다고 생각하면 안 된다. 변수 변환의 야코비안이 달라지기 때문이다. LKJ는 상관행렬의 분포이며 분산 크기를 동시에 지정하는 분포는 아니다. 표준편차 대각행렬 D를 별도로 정하면 공분산은 DRD로 구성할 수 있다.