PhaseCut

진폭과 위상 분리

측정 벡터를 diag(b)u로 쓰면 미지수는 각 성분의 위상이다. 이 벡터가 A의 치역 안에 있어야 어떤 신호 x의 측정 Ax가 될 수 있다. 치역에서 벗어난 잔차를 줄이는 목적을 위상 벡터에 대한 이차식 u*Mu로 나타낼 수 있다.

위상이 맞는 작은 예제

A=(1,1)ᵀ이고 진폭이 b=(1,1)이라고 하자. 가능한 측정은 (x,x)ᵀ 꼴이다. u=(1,1)이면 측정도 (1,1)이어서 치역 안에 있지만 u=(1,−1)이면 (1,−1)이어서 치역 밖이다. 뒤 벡터를 치역에 정사영하면 0이므로 잔차의 제곱 노름은 2다. 성분별 진폭이 같아도 위상 조합이 모두 가능한 것은 아니다.

단위 대각 행렬로 완화하기

U=uu*로 두면 목적은 tr(MU)이고 U는 양의 준정부호이며 대각 성분이 모두 1이다. 원래는 랭크 1이어야 하지만 PhaseCut은 그 제약을 제거한 볼록 문제를 푼다. 따라서 일반적인 완화 해가 항상 위상 벡터 하나의 외적이라는 보장은 없다.

신호 복원과 오차

랭크 1 해를 얻으면 위상 벡터를 추출하고 diag(b)u에 맞는 신호를 구할 수 있다. 해가 더 높은 랭크이면 반올림이나 추가 개선 절차가 필요할 수 있다. 복원 가능성과 안정성은 측정 연산자와 잡음 조건에 달리며 완화 최적화가 수렴했다는 사실만으로 원래 신호를 정확히 찾았다고 판단하지 않는다.