개요
뉴마크 베타 기법은 변위·속도·가속도의 관계를 이용하여 운동 방정식의 해를 시간 단계별로 구하는 방법이다. 질량·감쇠·강성을 포함하는 구조 동역학의 과도 응답 해석 등에 사용된다. β와 γ는 시간 적분의 성질을 정하는 수치 매개변수다.
갱신식
시간 간격을 h, 변위를 u, 속도를 v, 가속도를 a라고 하면 기본 갱신식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 아래첨자 n은 현재 단계, n+1은 다음 단계를 뜻한다.
uₙ₊₁ = uₙ + h vₙ + h²[(1/2−β)aₙ + βaₙ₊₁]
vₙ₊₁ = vₙ + h[(1−γ)aₙ + γaₙ₊₁]
다음 단계 가속도는 임의로 정하는 값이 아니라 운동 방정식과 함께 구한다. 따라서 시간 적분식뿐 아니라 하중, 재료 특성, 지지 조건 등 물리 모델도 필요하다.
사다리꼴 규칙과의 관계
β=1/4, γ=1/2를 선택하면 평균 가속도법이 된다. 이 경우 속도 갱신식은 vₙ₊₁−vₙ = h(aₙ+aₙ₊₁)/2가 된다. 시간 구간 양 끝 가속도의 평균에 구간 길이를 곱하는 사다리꼴 규칙이다.
같은 계수를 변위식에 넣고 속도 갱신식을 이용해 정리하면 uₙ₊₁−uₙ = h(vₙ+vₙ₊₁)/2도 얻어진다. 따라서 이 계수 선택에서는 속도와 변위 갱신을 사다리꼴 규칙으로 이해할 수 있다. 이는 갱신식을 대입·정리한 관계이며, β와 γ가 다른 모든 뉴마크 방식까지 동일하다는 뜻은 아니다.
해석 결과의 의미
시간 적분법의 선택과 구조 모델의 타당성은 별개의 검토 항목이다. 시간 간격을 줄였을 때 응답이 수렴하는지, 입력한 재료와 하중 모델이 실험 조건을 반영하는지 등을 확인한다. 계산이 끝났다는 사실만으로 실제 구조물의 거동을 정확하게 예측했다고 판단할 수 없다.