원소와 군의 위수
유한군의 위수가 pⁿ이면 라그랑주 정리에 의해 각 원소의 위수도 p의 거듭제곱이다. 반대로 유한군의 모든 원소가 이 조건을 만족하면 군의 위수에 다른 소수 q가 나타날 수 없다. 코시 정리가 위수 q인 원소를 보장해 가정과 모순되기 때문이다.
8원소 군의 예
사원수군 Q₈은 군의 위수가 8=2³이고 원소들의 위수가 1,2,4이므로 2-군이다. 클라인 사원군은 위수 4의 2-군이다. 반면 S₃는 위수가 6이며 위수 2인 원소와 위수 3인 원소를 모두 가지므로 어떤 소수 p에 대해서도 p-군이 아니다.
실로 부분군과 연결
유한군 G에서 |G|를 나누는 최대 p의 거듭제곱을 pᵃ라 하면 실로 p-부분군은 위수가 pᵃ인 p-군이다. 원래 군 전체가 p-군일 필요는 없다. 예를 들어 S₃에는 위수 2인 실로 2-부분군과 위수 3인 실로 3-부분군이 있다.
순환군이라는 뜻은 아님
위수가 소수의 거듭제곱이라는 조건만으로 군이 순환군이거나 가환군이라고 결론 내릴 수 없다. 클라인 사원군은 순환군이 아니며 사원수군은 가환군도 아니다. 또한 원소의 위수에 관한 정의는 무한군에도 쓰이지만 군 전체의 원소 수가 유한한 pⁿ이라는 표현은 유한군에 한정된다.
관련 문서
소수 (수론) / 위수 (군론) / 라그랑주 정리 (군론) / 코시 정리 (군론) / 실로 정리 / 사원수군 / 클라인 사원군 / 대칭군