두 조건을 동시에
정규성은 기약다항식의 근이 하나 들어오면 나머지 근들도 포함하는 조건이다. 분리성은 각 원소의 최소다항식에 중근이 없는 조건이다. 하나만 만족해서는 갈루아 확대가 되지 않으며, 표수가 0인 대수적 확대에서는 분리성이 자동이므로 정규성이 관건이다.
유리수에 i 첨가
ℚ(i)는 x²+1의 두 근 i와 −i를 모두 포함하는 분해체이고 표수가 0이라 분리적이다. 따라서 ℚ(i)/ℚ는 갈루아 확대다. 항등사상과 복소켤레 사상 두 개가 갈루아 군을 이루며 확대 차수도 2다.
자기동형이 적은 확대
ℚ(∛3)/ℚ는 차수가 3이지만 ℚ를 고정하는 자기동형은 항등사상뿐이다. ∛3을 보낼 수 있는 다른 두 근이 실수체 안의 이 확대에 없기 때문이다. 분리적이지만 정규가 아니어서 확대 차수와 자기동형 수가 일치하지 않는다.
분해체 조건
유한 확대가 갈루아 확대라는 것은 어떤 분리다항식의 분해체라는 조건과 동치다. 중근을 가진 다항식의 분해체라는 사실만으로 갈루아라고 결론 내릴 수는 없다. 양의 표수에서는 정규성과 별개로 분리성도 직접 확인해야 한다.