차수와 모수를 구분한다
n은 다항식의 차수이고 α는 계열의 형태를 정하는 모수다. 표준형은 (1−x²)y″−(2α+1)xy′+n(n+2α)y=0을 만족한다. 여기서는 퇴화 조건을 피하는 양의 α를 생각한다. 미분방정식의 해에 상수를 곱해도 같은 식을 만족하므로 표준 정규화까지 정해야 구체적인 다항식이 정해진다.
낮은 차수의 다항식
표준형에서 C_0=1, C_1=2αx, C_2=2α(α+1)x²−α다. α=1이면 0차부터 1,2x,4x²−1을 얻는다. α=1/2이면 1,x,(3x²−1)/2로 르장드르 계열과 맞는다. 같은 차수 2라도 모수에 따라 계수와 영점이 바뀌므로 차수만으로 함수값을 결정할 수 없다.
가중치가 있는 직교성
고정한 모수에서 서로 다른 차수의 다항식들은 구간 [−1,1]에서 가중함수 (1−x²)^(α−1/2)에 대해 직교한다. 즉 두 다항식의 곱에 이 가중치를 곱해 적분하면 0이다. α=1/2에서는 가중치가 1이지만 α=1에서는 √(1−x²)다. 가중치를 생략한 보통의 내적에서도 모든 모수에 같은 직교성이 남는 것은 아니다.
최고차항 정규화
α=1의 표준 2차식 4x²−1을 최고차항 계수가 1인 형태로 바꾸면 x²−1/4다. 두 식의 영점은 같고 상수배이므로 직교 관계도 유지되지만 함수값과 노름은 다르다. 표준형과 모닉 형태를 혼용하면 전개 계수도 달라진다. 직교 기저로 사용할 때는 모수와 가중치, 정규화 규약을 함께 맞춰야 한다.