각 변에 접하는 원
삼각형의 내접원은 세 꼭짓점을 지나는 원이 아니라 세 변에 각각 접하는 원이다. 중심에서 접점으로 그은 반지름은 해당 변에 수직이다. 내심에서 세 변까지의 수직 거리가 같은 것이 원을 구성하는 핵심 조건이다.
반지름과 넓이
삼각형의 넓이를 Δ, 반둘레를 s라 하면 Δ = rs이므로 r = Δ/s다. 내심과 꼭짓점들을 연결하면 밑변이 각각 원래 변이고 높이가 모두 r인 세 삼각형으로 나뉘므로 이 관계를 얻는다.
길이가 3과 4와 5인 예
세 변이 3과 4와 5인 직각삼각형은 넓이가 6이고 반둘레가 6이다. 따라서 내접원 반지름은 1이다. 같은 삼각형의 외접원 반지름은 빗변의 절반인 5/2이므로 두 원의 반지름을 서로 바꾸어 사용해서는 안 된다.
다각형에서는 존재 조건 확인
모든 삼각형과 정다각형에는 내접원이 있지만 임의의 다각형에서 항상 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 가로와 세로가 다른 직사각형에는 네 변에 모두 접하는 원이 없다. 안쪽에 원 하나를 그릴 수 있다는 것과 모든 변에 접한다는 조건은 다르다.