공식의 구조
새 역행렬은 A⁻¹ - (A⁻¹uvᵀA⁻¹)/(1+vᵀA⁻¹u)다. 행렬의 곱 순서를 유지해야 하며 분모는 스칼라다. 벡터의 외적은 보통 정사각 행렬이므로 벡터끼리 같은 위치를 곱하는 연산과 구분한다.
단위행렬에서 출발하기
A를 2행 2열 단위행렬, u=(1,2), v=(2,0)으로 두자. 갱신한 행렬의 두 행은 (3,0), (4,1)이다. 분모는 1+2=3이고 공식으로 얻은 역행렬의 두 행은 (1/3,0), (-4/3,1)이다. 두 행렬을 곱하면 단위행렬이 된다.
분모가 0이 되는 예제
같은 A와 u에서 v=(-1,0)으로 바꾸면 분모는 0이다. 갱신한 행렬의 두 행은 (0,0), (-2,1)이 되어 실제로 역행렬이 없다. 분모 조건은 단지 계산의 편의를 위한 장식이 아니다.
역행렬 전체를 만들지 않는 사용법
갱신된 시스템의 우변이 b이면 Ay=b와 Az=u를 먼저 푼 뒤 x=y-z(vᵀy)/(1+vᵀz)로 결합할 수 있다. 기존 분해가 있어야 재사용의 이점이 생긴다. 분모가 매우 작거나 두 큰 항의 차로 결과가 나올 때는 반올림 오차도 확인해야 한다.