직교성과 길이
n×n 행렬의 각 행에 1 또는 -1이 n개 있으면 그 행의 길이 제곱은 n이다. 서로 다른 행의 내적이 0이면 HHᵀ=nI가 된다. 따라서 H 자체는 일반적으로 길이를 보존하는 직교 행렬이 아니지만 H/√n은 직교 행렬이다. 역행렬은 Hᵀ/n이며, 모든 아다마르 행렬에서 H²=nI라고 가정해서는 안 된다.
합과 차이의 예제
두 행이 (1,1),(1,-1)인 행렬 H를 벡터 (2,4)에 곱하면 (6,-2)가 된다. 두 입력의 합과 차이로 좌표를 바꾼 것이다. 결과에 H를 다시 곱하고 2로 나누면 (2,4)를 되찾는다. 이 예제에서는 H가 대칭이므로 H와 Hᵀ가 같지만 일반 역변환 식은 전치를 포함한다.
실베스터의 재귀 구성
아다마르 행렬 H가 있으면 네 블록을 위쪽에 H,H, 아래쪽에 H,-H로 놓아 두 배 크기의 행렬을 구성할 수 있다. 같은 부호 부분과 반대 부호 부분의 내적이 상쇄되며 직교성이 유지된다. [1]에서 시작해 이 구성을 반복하면 크기가 1,2,4,8처럼 2의 거듭제곱인 행렬들을 얻는다. 이 구성법이 모든 가능한 아다마르 행렬을 뜻하는 것은 아니다.
부호와 순서의 구분
행이나 열을 바꾸거나 특정 행 전체의 부호를 뒤집어도 직교 구조가 유지된다. 따라서 표면적인 배열이 달라도 같은 성질을 가진 행렬일 수 있다. 변환이나 부호화에 사용할 때는 행·열의 순서와 정규화를 맞춰야 한다. 양자 연산에서 쓰는 아다마르 게이트는 정규화한 2×2 형태와 연결되지만 일반 행렬 개념 전체와 동일하지는 않다.