방정식 수보다 많은 미지수
측정 수가 신호 차원보다 작으면 일반적으로 같은 측정을 만드는 후보가 많다. 하지만 신호가 적은 수의 원자나 기저 성분으로 나타난다면 후보를 그 구조로 제한할 수 있다. 신호 자체가 희소한지 다른 변환 영역의 계수가 희소한지 구별하고 그 표현을 측정 모형에 반영한다.
작은 희소 복원 예제
A=[[1,0,1],[0,1,1]], y=(2,2)ᵀ라면 x=(0,0,2)ᵀ와 x=(2,2,0)ᵀ가 모두 측정을 만족한다. 앞 후보는 0이 아닌 값이 한 개, 뒤는 두 개다. 이 경우 한 개 성분만 사용한다는 조건 아래 세 번째 열의 계수 2를 고를 수 있다. 이 두 측정의 예제를 모든 희소도와 모든 행렬에 일반화할 수는 없다.
절댓값 합으로 찾기
0이 아닌 값의 개수를 직접 최소화하는 문제 대신 ‖x‖₁를 최소화하면서 Ax=y를 만족시키는 볼록 문제를 사용할 수 있다. 적절한 측정 조건과 충분한 측정 수 아래 원래 희소 신호의 복원이 가능하다. 임의의 행렬에서 L1이 가장 희소한 해와 항상 일치하는 것은 아니다.
표본화 정리와의 관계
구조 가정 없이 임의의 신호를 적은 측정으로 복원한다는 주장이 아니다. 희소성과 측정 연산의 성질이 추가 정보로 작용한다. 잡음이 있거나 신호가 정확히 희소하지 않으면 측정 오차와 근사 오차를 함께 다뤄야 한다. 이미 저장된 파일의 중복을 제거하는 일반 데이터 압축과도 측정 단계의 역할이 다르다.
관련 문서
푸리에 변환 / 선형 방정식 / 볼록 최적화 / 사전 학습 (희소 표현) / 행렬 완성 / 직교 정합 추구