총최소제곱 동적 모드 분해

설명 변수에도 들어가는 잡음

기본 회귀 Y≈AX는 보통 X를 주어진 입력 자료로 두고 Y의 잔차를 줄인다. 그러나 같은 센서로 시간 표본을 측정하면 X에도 Y에도 오차가 있다. 이때 한쪽만 오차가 없는 기준으로 삼는 추정은 고유값 등에 체계적인 편향을 만들 수 있다.

스칼라 회귀로 보는 영향

원래 관측 쌍이 (1,2), (2,4)라면 원점을 지나는 최소제곱 기울기는 2다. 둘째 쌍의 앞 관측만 3으로 바뀌면 쌍은 (1,2), (3,4)가 되고 기울기는 (1×2+3×4)/(1²+3²)=1.4다. 이 예제는 설명 변수 오차의 영향을 보여 주며 임의 잡음의 평균 편향을 계산한 결과는 아니다.

결합 부분공간을 이용하기

전이 전후 표본 행렬을 세로로 쌓은 결합 자료에서 낮은 차원의 공통 구조를 추정한다. 그 구조를 기준으로 앞뒤 표본을 함께 투영한 후 동적 모드를 계산한다. 이는 단순히 원래 DMD 결과를 여러 번 평균내는 것과 다르다. 어떤 차원을 남기는지가 잡음 제거와 신호 손실을 좌우한다.

오차 모형과 스케일

총최소제곱 관점도 모든 관측이 같은 오차 성질을 갖는지 확인해야 한다. 단위나 잡음 크기가 크게 다른 변수들을 그대로 쌓으면 큰 스케일의 변수가 부분공간을 지배할 수 있다. 모형에서 가정한 잡음 편향을 줄이는 것과 미래 궤적을 정확히 예측하는 것은 별개이며 별도 자료로 확인해야 한다.