이름의 아홉 점
세 변의 중점으로 세 점을 얻고, 꼭짓점에서 맞은편 변을 포함하는 직선에 내린 수선의 발로 세 점을 더 얻는다. 마지막 세 점은 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분의 중점이다. 특별한 삼각형에서는 이 점들 중 일부가 겹칠 수 있다.
중심과 반지름
외심을 O, 수심을 H라 하면 구점원의 중심 N은 OH의 중점이다. 외접원의 반지름이 R이면 구점원의 반지름은 R/2다. 정삼각형이 아닌 경우 N은 외심과 무게중심과 수심이 놓이는 오일러 직선 위에 있다.
직각삼각형의 예
(0, 0), (4, 0), (0, 3)을 꼭짓점으로 잡으면 수심은 (0, 0)이고 외심은 (2, 3/2)이다. 따라서 N은 (1, 3/4)다. 빗변 길이가 5라 외접원 반지름이 5/2이므로 구점원 반지름은 5/4다.
높이의 발을 찾을 때
둔각삼각형에서는 일부 높이의 발이 변의 선분 밖, 그 연장선 위에 놓인다. 그렇다고 구점원의 성질이 사라지지는 않는다. 세 변의 중점만 골라 원을 먼저 찾고 나머지 점들의 위치를 확인하는 방식으로 구성을 살펴볼 수 있다.