무한히 더한다는 말의 의미
무한급수는 끝없는 덧셈을 한 번에 완료한다는 뜻으로 이해하기보다, 처음 몇 항까지 더한 부분합의 변화를 통해 정의한다. 더하는 항의 수를 늘릴 때 부분합이 유한한 한 값으로 다가가면 수렴한다고 말한다.
급수의 항 자체가 가까워지는 값과 부분합이 가까워지는 값은 다르다. 수열의 극한과 그 수열로 만든 급수의 합을 구분해야 한다.
항이 작아지면 충분한가
수렴하는 급수에서는 항이 0으로 가까워져야 한다. 그러나 항이 0으로 가까워진다고 해서 급수가 반드시 수렴하지는 않는다.
1, 1/2, 1/3 등 자연수의 역수를 더한 조화급수는 각 항이 0으로 가까워져도 부분합이 유한한 값으로 모이지 않는다. 항의 크기만이 아니라 작아지는 속도와 합의 구조가 중요하다.
일정한 비율로 줄어드는 경우
각 항이 앞 항의 일정한 배수인 등비급수는 기본적인 예다. 공비의 절댓값이 1보다 작으면 유한한 첫 항에서 시작한 무한급수가 수렴한다.
첫 항이 5이고 공비가 1/4라면 합은 5를 1에서 1/4을 뺀 값으로 나눈 20/3이다. 항을 계속 더하더라도 전체가 유한한 범위에 모일 수 있음을 보여 준다.
더하는 순서에 관한 주의
유한한 합에서는 항의 순서를 바꿔도 합이 같다. 무한급수에서는 절대수렴인지 등 조건을 확인하지 않은 채 같은 규칙을 적용하면 안 된다.
절댓값을 취한 항들의 급수까지 수렴하는 경우를 절대수렴이라고 한다. 조건부로 수렴하는 급수에는 순서를 바꿀 때 합의 성질이 달라질 수 있다는 주의가 필요하다.