행렬 영역에서의 정의
실수 대칭 양의 정부호 d×d 행렬 A에 대해 exp(−tr A)det(A)^(a−(d+1)/2)를 적분하면 Γ_d(a)를 얻는다. tr A는 대각합이고 det A는 행렬식이다. 여러 성분에 대해 적분한다는 의미에서 다변량이며,인수 a 자체가 반드시 벡터여야 한다는 뜻은 아니다. 정의에 사용하는 행렬 영역과 스칼라 인수를 구분한다.
감마 함수 곱으로 나타내기
Γ_d(a)=π^(d(d−1)/4)∏_{j=1}^d Γ(a−(j−1)/2)다. d=2이면 √πΓ(a)Γ(a−1/2)이고 a=2에서는 √π×1×(√π/2)=π/2다. d=3,a=2이면 π^(3/2)Γ(2)Γ(3/2)Γ(1)=π²/2다. 같은 a를 넣더라도 d를 바꾸면 항의 개수와 인수의 위치,π의 계수가 함께 바뀐다.
인수를 하나 증가시키기
보통 감마 함수의 점화식을 각 항에 적용하면 Γ_d(a+1)=Γ_d(a)∏_{j=1}^d(a−(j−1)/2)다. d=2,a=2에서는 배수가 2×3/2=3이므로 Γ₂(3)=3π/2다. Γ(a+1)=aΓ(a)라는 한 변수 공식의 배수 a만 가져오거나 이를 단순히 a의 d제곱으로 바꾸면 다른 결과를 얻는다.
로그 형태의 계산과 조건
양의 실수 정의역에서 로그를 취하면 lnΓ_d(a)=d(d−1)lnπ/4+ΣlnΓ(a−(j−1)/2)다. 큰 곱을 먼저 만들기보다 로그의 합으로 다룰 수 있다. 정의역 조건은 마지막 감마 인수 a−(d−1)/2가 양수이도록 한다. 위샤트 분포 등의 정규화에서 차원을 맞춰 사용하며,일반화 감마 분포라는 확률분포와도 별개의 개념이다.