대칭성이 줄여 주는 계산
아르놀디 과정의 계수 행렬은 상부 헤센베르크 행렬이다. 대칭행렬을 다루면 그 계수 행렬도 대칭이므로 첫 위 부대각선보다 위쪽까지 0이 된다. 결국 대각선과 바로 위아래 한 줄만 남는다.
첫 방향을 만드는 예제
두 행이 (4,2), (2,3)인 행렬과 q₁=(1,0)을 생각하자. Aq₁=(4,2)에서 4q₁을 빼면 (0,2)다. 길이 2로 나누어 q₂=(0,1)을 얻으며 첫 대각 계수는 4, 두 기저를 잇는 계수는 2다.
앞선 방향의 성분을 빼기
같은 예제에서 Aq₂=(2,3)이다. 앞선 기저 방향의 2q₁과 현재 기저 방향의 3q₂를 빼면 0이 된다. 작은 행렬의 두 행은 (4,2), (2,3)이며 이차원 공간 전체를 이미 얻었다. 더 높은 차원에서는 남은 벡터를 정규화해 다음 기저를 이어 만든다.
짧은 점화식의 한계
정확한 산술에서 성립하는 직교성이 실제 부동소수점 계산에서도 자동으로 유지되지는 않는다. 오차가 쌓이면 이미 찾은 고유값이 중복된 것처럼 나타날 수 있어 다시 직교화하기도 한다. 짧은 점화식만 저장하는 경우와 모든 기저 벡터를 보관하는 경우의 메모리 사용량도 다르다.
관련 문서
아르놀디 반복법 / 크릴로프 부분공간 / 대칭행렬 / 헤센베르크 행렬 / 고유값 / 부동소수점 / 켤레기울기법