에너지를 표현하는 행렬
점질량의 운동 에너지 ½mv²를 여러 관절로 확장하면 ½q̇ᵀM(q)q̇가 된다. 독립적인 관절 좌표와 비퇴화한 관성 모델에서는 M이 대칭 양의 정부호이므로 0이 아닌 관절 속도에 대해 운동 에너지가 양수다. 대각 원소만이 아니라 비대각 원소도 함께 관여한다. 이를 링크 질량을 대각선에 단순히 나열한 행렬로 생각하면 관성 결합을 놓친다.
결합이 있는 계산
두 좌표의 질량행렬이 M=((2,1),(1,2))라고 하자. 속도 (1,0)의 에너지는 1이고, 속도 (1,1)의 에너지는 3이다. 각 좌표의 대각 성분만 따로 합산하면 두 번째 결과를 얻지 못한다. 같은 행렬에서 가속도 (1,0)에 필요한 관성 입력은 (2,1)이다. 한 좌표만 가속해도 다른 좌표의 입력이 필요할 수 있다.
힘 방향과 가속도 방향
중력과 속도 의존 항을 제외한 관성 관계는 τ=Mq̈다. 위 행렬의 역행렬은 ⅓((2,−1),(−1,2))이므로 입력 (1,0)은 가속도 (2/3,−1/3)를 만든다. 두 벡터가 항상 평행한 것은 아니다. 고유벡터 방향에서는 입력과 가속도가 같은 축을 따라가며 고유값이 그 방향의 관성 크기를 설명한다. 실제 운동에서는 중력 등을 포함한 전체 방정식을 사용한다.
말단에서 느끼는 관성
말단 속도 v=Jq̇이고 J가 정방 가역이면 에너지를 v로 표현한 질량행렬은 Λ=J⁻ᵀMJ⁻¹이다. 예를 들어 M=I, J=diag(2,1)이면 Λ=diag(1/4,1)이다. 같은 크기의 말단 속도라도 방향에 따라 에너지가 다르다. 로봇 배치가 바뀌면 M과 J가 달라질 수 있고, 특이점에서 위 역행렬 공식을 그대로 쓸 수는 없다.