√2를 분수로 쓸 수 없는 이유
√2가 기약분수 p/q라고 가정하면 p²=2q²가 된다. 이 관계에서 p가 짝수임을 알 수 있고, 이를 대입하면 q도 짝수가 된다. 분자와 분모가 모두 짝수라는 결론은 기약분수라는 가정과 모순된다.
이 증명은 단순히 소수 자릿수를 많이 계산해서 반복을 찾지 못했다는 관찰과 다르다. 모든 가능한 정수의 비에 대해 표현이 불가능함을 논리적으로 보인다.
제곱근이면 항상 무리수인가
√9는 3이므로 유리수다. 반면 √2와 √3은 무리수다. 수식에 제곱근 기호가 있다는 사실만으로 수의 종류를 결정할 수는 없다.
무리수 중에는 정수 계수 다항식의 해인 수와 그렇지 않은 수가 있다. √2는 x²−2=0의 해이고 π는 초월수다. 무리수와 초월수는 같은 범위의 개념이 아니다.
연산 결과가 머무는 집합
무리수끼리 더하거나 곱한 결과가 항상 무리수인 것은 아니다. √2와 −√2를 더하면 0이고 √2를 제곱하면 2가 된다. 반대로 다른 조합은 무리수를 만들 수 있다.
유리수가 아닌 수를 모았다는 사실만으로 그 집합이 사칙 연산 아래 닫혀 있다는 결론은 나오지 않는다. 개별 연산의 조건을 따로 확인해야 한다.
근사와 정확한 대상
계산에서는 무리수를 유한한 소수로 근사하는 경우가 많다. 이 근삿값은 유리수이지만 그 값이 가까워지는 원래 대상은 무리수일 수 있다.
예를 들어 √2를 몇 자리로 반올림했다고 √2 자체가 유리수로 바뀌는 것은 아니다. 측정과 계산의 정확도를 논할 때 대상과 표현을 구분해야 한다.