분리 확대

최소다항식의 근 구별

α∈L의 최소다항식이 분해체에서 같은 근을 여러 번 갖지 않으면 α를 분리적이라 한다. L의 모든 원소가 이 조건을 만족할 때 확대가 분리적이다. 아무 다항식이나 골라 중근이 있는지 보는 것이 아니라 각 원소의 최소다항식으로 판단해야 한다.

표수 0에서는 자동

유리수체나 실수체처럼 표수가 0인 체의 대수적 확대는 모두 분리적이다. 예를 들어 ℚ(∛3)/ℚ는 분리적이지만 x³−3의 비실근을 포함하지 않아 정규는 아니다. 이 예는 분리성과 정규성이 같은 성질이 아님을 보여 준다.

표수 2에서의 차이

K=𝔽₂(t)를 부정원 t의 유리함수체로 잡고 u²=t인 u를 첨가하자. t는 K에서 제곱이 아니므로 x²−t가 u의 최소다항식이다. 그런데 확대체에서는 x²−t=(x−u)²이므로 근이 겹친다. 따라서 K(u)/K는 분리 확대가 아니다.

유한체와 구별

유한체의 유한 확대는 분리적이다. 위의 비분리 예에서 𝔽₂(t)는 표수는 2이지만 원소 수가 무한한 체다. 표수가 양수라는 사실만으로 비분리 확대가 반드시 생긴다고 생각하거나, 표수 2인 체를 원소 두 개의 체와 같다고 생각하면 안 된다.

관련 문서

체의 확대 / 최소다항식 (체론) / 분해체 / 정규 확대 / 체의 표수 / 유한체 / 대수적 원소 / 다항식환