네 변과 반둘레
사각형의 변 길이를 순서대로 a와 b와 c와 d로 두고 합의 절반을 s로 둔다. 각 변을 s에서 뺀 네 값을 곱한 뒤 제곱근을 취한다. 삼각형의 헤론 공식과 모양이 비슷하지만 다른 도형과 적용 조건을 다룬다.
직사각형에서 확인
가로가 5이고 세로가 2인 직사각형의 반둘레는 7이다. 공식에 넣으면 √[(7 − 5)(7 − 2)(7 − 5)(7 − 2)] = 10이다. 직사각형은 원에 내접하므로 공식을 사용할 수 있으며 가로와 세로의 곱으로 구한 넓이와 일치한다.
일반 사각형에 적용하면
네 변이 모두 2인 마름모라도 내각이 바뀌면 넓이는 달라진다. 이 길이들을 공식에 넣으면 4가 나오지만, 실제 넓이가 4인 것은 정사각형인 경우다. 변 길이 네 개를 안다는 사실만으로 아무 사각형에서나 이 식을 적용할 수는 없다.
고정된 변 길이와 넓이
같은 네 변의 길이로 만들 수 있는 볼록사각형들 가운데 원에 내접하는 경우 넓이가 최대가 된다. 내접 조건에서는 일반 사각형 넓이 식에 들어가는 각도 관련 항이 사라져 변 길이만 남는다. 넓이를 구하기 전에 도형 조건을 확인하는 이유다.
관련 문서
원에 내접하는 사각형 / 헤론의 공식 / 직사각형 / 마름모 / 정사각형 / 제곱근 / 프톨레마이오스의 정리