집합과 다른 순서의 역할
3, 3, 6을 차례로 나열한 수열에서는 같은 값이 두 번 나타난다. 순서를 바꾸어 3, 6, 3으로 만들면 다른 수열이다. 집합에서는 같은 원소의 반복과 나열 순서를 이와 같은 방식으로 구분하지 않는다.
수열의 첨자는 위치를 나타낸다. 첫 첨자를 0으로 잡는지 1로 잡는지에 따라 같은 규칙의 식도 달라질 수 있으므로 시작 위치를 명시해야 한다.
일반항과 점화식
일반항은 위치 n으로부터 항의 값을 직접 나타낸다. 첫 항을 n=1로 잡았을 때 aₙ=3n+2라면 앞의 항은 5, 8, 11로 이어진다.
점화식은 앞선 항과의 관계로 다음 항을 정한다. a₁=5와 aₙ₊₁=aₙ+3을 함께 제시하면 같은 수열을 정할 수 있다. 점화식만 주고 시작값을 정하지 않으면 여러 수열이 가능할 수 있다.
계속 작아지면 모두 같은 극한인가
aₙ=1/n은 n이 커질수록 0에 가까워진다. 반면 bₙ=2+1/n은 계속 감소하지만 2에 가까워진다. 항이 감소한다는 사실만으로 극한이 0이라고 결론 내릴 수 없다.
실수 수열이 단조롭고 적절한 방향으로 유계이면 유한한 극한을 갖는다. 두 조건을 함께 확인해야 한다. 단조롭게 증가하는 수열 n은 위로 유계가 아니므로 유한한 값으로 수렴하지 않는다.
수열과 급수를 구분하기
수열은 항들의 나열이고 급수는 그 항들을 더하는 문제다. 무한급수의 수렴은 처음부터 n번째까지 더한 부분합 수열의 극한으로 정의된다.
각 항이 0으로 가까워진다는 것은 급수 수렴의 필요조건이지만 충분조건은 아니다. 1/n을 더한 조화급수는 항이 0으로 가도 발산한다. 항의 극한과 합의 극한을 구분해야 한다.