끝의 원소가 사라지지 않는다
첫 행을 (2,1,4)로 정하면 다음 두 행은 (4,2,1), (1,4,2)다. 오른쪽 끝의 원소를 버리거나 0으로 채우지 않고 왼쪽 끝으로 옮긴다. 왼쪽 이동으로 정의하는 관례와 비교할 때는 방향을 먼저 맞춰야 한다.
벡터에 적용해 보기
이 행렬에 벡터 (1,2,3)을 곱하면 (16,11,15)가 된다. 첫 성분은 2×1+1×2+4×3 = 16이다. 각 행이 같은 세 계수를 다른 위치에 놓으므로 성분별 가중합의 계수도 순환한다.
곧바로 확인되는 고유값
모든 행의 합은 7이다. 따라서 벡터 (1,1,1)에 곱하면 (7,7,7)이 되어 고유값 7을 확인할 수 있다. 그러나 이것만으로 나머지 고유값까지 정해지는 것은 아니다. 모든 원소가 1인 3행 3열 순환행렬은 벡터 (1,-1,0)을 0으로 보내므로 역행렬이 없다.
푸리에 변환과의 연결
순환행렬은 이산 푸리에 변환 행렬로 대각화할 수 있다. 빠른 푸리에 변환을 이용하는 계산법이 가능한 이유다. 다만 선형 시스템을 풀려면 고유값이 0이 아닌지도 확인해야 한다. 순환 구조가 있다고 언제나 역행렬을 구할 수 있는 것은 아니다.