음수 고유값도 절댓값으로 비교한다
대각 원소가 -3과 2인 행렬의 고유값은 -3과 2다. 스펙트럼 반지름은 2가 아니라 3이다. 가장 큰 실수 고유값을 고르는 계산과 구별한다. 복소수 고유값이 있으면 그 복소수의 크기로 비교한다.
오차 반복의 조건
반복법의 오차가 e[k+1] = R e[k]를 만족하면 k단계 뒤에는 e[k] = Rᵏ e[0]이다. 모든 초기 오차에서 0으로 수렴하는 조건은 ρ(R) < 1이다. 여기서 확인할 대상은 원래 연립방정식의 행렬이 아니라 해당 반복 규칙의 행렬 R이다.
처음부터 작아지는 것은 아니다
R의 두 행을 (0.5,10), (0,0.5)로 두면 고유값은 모두 0.5다. 초기 오차 (0,1)에 곱하면 첫 결과는 (10,0.5), 다음은 (10,0.25), 그다음은 (7.5,0.125)다. 스펙트럼 반지름이 1보다 작아도 처음에는 오차 길이가 커질 수 있다.
장기적인 감소를 확인한다
위 예의 k제곱에서는 대각 성분이 0.5ᵏ, 오른쪽 위 성분이 10k×0.5ᵏ⁻¹이다. 두 성분은 결국 모두 0으로 간다. 유한한 단계의 일시적 증폭과 장기 수렴 조건을 구분해야 한다. 짧은 반복 기록만 보고 스펙트럼 반지름을 단정하지 않는다.
관련 문서
고유값 / 거듭제곱법 / 야코비 반복법 / 가우스 자이델 반복법 / SOR 방법 / 고정점 반복법 / 행렬 / 벡터