분수 사이의 빈틈을 채우기
유리수는 수직선에 촘촘히 있지만 모든 길이와 극한을 표현하지 못한다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이 √2도 유리수가 아니다. 실수는 이런 값을 포함한다.
실수는 소수 전개로 표현할 수 있지만 같은 수에 두 전개가 대응하는 경우도 있다. 0.999…와 1은 서로 다른 실수가 아니라 같은 값이다. 무한한 반복과 유한 자릿수의 근삿값을 구분해야 한다.
순서와 거리
실수는 수직선에서 왼쪽에 있는 수가 오른쪽에 있는 수보다 작다는 순서를 갖는다. 두 수 a와 b 사이의 거리는 |a−b|로 나타낼 수 있다.
거리가 작다는 것과 수가 작다는 것은 다르다. 예를 들어 큰 음수의 절댓값은 클 수 있다. 극한에서 값들이 가까워진다는 표현은 이런 거리 개념으로 엄밀하게 다룬다.
완비성이 하는 역할
실수의 완비성은 유리수만으로 남는 빈틈 없이 극한을 다룰 수 있게 하는 성질이다. 대표적으로 공집합이 아니고 위로 유계인 실수 집합에는 최소 상계가 존재한다.
이 성질은 미적분학의 여러 정리에서 중요하다. 소수 자릿수가 많다는 일상적인 설명만으로 실수의 구조가 모두 정의되는 것은 아니며 순서와 연산, 극한에 관한 조건이 함께 필요하다.
기계의 실수 표현
컴퓨터의 부동소수점 자료형은 유한한 비트로 실수를 근사한다. 표현 범위와 정밀도가 제한되어 어떤 십진 소수는 정확히 저장되지 않을 수 있다.
수학에서 성립하는 연산의 결합 법칙이 부동소수점 계산에서는 반올림 때문에 다른 결과를 낼 수 있다. 계산 결과를 해석할 때 수학적 실수와 구체적인 숫자 표현을 구분해야 한다.