형태와 표기
실수 정사각 행렬 A에 대해 AᵀP+PA=-Q라는 형태를 생각할 수 있다. 한편 AX+XAᵀ=Q 또는 AX+XAᵀ+Q=0처럼 쓰는 경우도 있다. 미지수가 행렬의 어느 쪽에 놓이는지와 우변의 부호를 확인해야 한다. 같은 이름을 사용하더라도 A나 Q를 그대로 대입하면 다른 방정식을 풀 수 있다. 복소수 모형에서는 전치와 켤레전치도 구분한다.
대각 행렬의 해
A의 대각 원소가 -1,-2이고 Q=I라 하자. P의 대각 원소를 1/2,1/4로 두고 나머지는 0으로 놓으면 AᵀP+PA=-I가 된다. 첫 대각 성분은 -1/2-1/2=-1이고 둘째는 -2/4-2/4=-1이다. 이 경우 P는 양의 정부호이며 방정식의 부호를 직접 검산할 수 있다.
이차 형식의 변화
선형계의 상태가 dx/dt=Ax를 따른다고 하자. 대칭 행렬 P로 V=xᵀPx를 정의하면 시간에 따른 변화율은 xᵀ(AᵀP+PA)x이다. 앞의 예제에서는 V=x1²/2+x2²/4이고 변화율은 -x1²-x2²이다. 원점이 아닌 상태에서 V가 감소하는 모습을 보여 준다. 안정성을 논할 때는 P와 Q의 양의 정부호 조건 및 계의 가정을 확인해야 한다.
해와 수치 검증
행렬 방정식의 해가 계산됐다는 사실만으로 그 해가 안정성 증명에 필요한 양의 정부호 조건을 만족하는 것은 아니다. 해의 대칭성과 방정식의 잔차를 확인하고, 고유값과 수치 오차도 살핀다. 모든 A에서 원하는 해가 존재하거나 유일한 것은 아니다. 이산시간 리아푸노프 방정식은 곱의 구조가 다르므로 연속시간 식과 혼동해서는 안 된다.