정수의 소인수분해 확장
정수 30은 2×3×5로 분해된다. 인자 순서를 바꾸거나 두 인자에 각각 −1을 곱해도 본질적으로 같은 분해로 본다. UFD는 이런 의미의 유일한 인수분해를 정수 이외의 정역에서도 요구하는 개념이다.
기약원소와 가역원
기약원소는 0도 가역원도 아니며 두 인자의 곱으로 쓰면 적어도 한 인자가 가역원이어야 한다. 두 원소가 가역원 배수만큼 차이 나면 동반원소라고 한다. 유일성에서 이 차이를 허용하지 않으면 정수에서도 2와 −2 때문에 불필요하게 다른 분해가 생긴다.
소원소와의 관계
일반 정역에서 소원소는 기약원소지만 역은 항상 성립하지 않는다. UFD에서는 기약원소도 소원소여서, 기약원소가 ab를 나누면 a 또는 b를 나눈다. 이 성질이 정수의 소인수분해와 비슷한 계산을 가능하게 한다.
예와 한계
정수환과 체 위의 다항식환은 UFD다. 특히 K[x,y]도 UFD지만 PID는 아니다. 모든 PID는 UFD라는 방향은 맞지만 그 역은 틀리다. 인수분해가 유일한지와 아이디얼 하나당 생성원이 하나면 충분한지는 다른 조건이다.