밑이 특별한 로그
ln1=0이고 lne=1이다. e는 양의 상수이며 지수함수 eˣ를 미분해도 eˣ가 되는 성질과 연결된다. 자연로그와 상용로그는 같은 입력이라도 밑이 달라 일반적으로 값이 다르다.
미분과 적분
x>0에서 ln x의 도함수는 1/x다. 0을 포함하지 않는 한 구간에서 1/x의 원시함수는 ln|x|+C로 쓸 수 있다. 음수에서 ln x 자체가 실수로 정의되는 것은 아니며 절댓값이 들어간 식과 구별한다.
로그 성질
양의 a,b에 대해 ln(ab)=lna+lnb이고 ln(a/b)=lna−lnb다. 밑 변환에 의해 logₐx=lnx/lna로 계산할 수 있다. 밑 a가 1이면 분모가 0이 되므로 로그의 밑 조건이 필요하다.
적분으로 이해하기
x>0에서 ln x는 1부터 x까지 1/t를 적분한 값으로 정의할 수 있다. x<1이면 적분 구간 방향이 반대여서 값이 음수다. 이는 자연로그가 1보다 작은 양의 입력에서 음수가 된다는 그래프와 맞는다.