수직인 것만으로는 부족하다
열벡터가 서로 수직이면서 각각 크기 1이어야 한다. diag(2,3)은 두 열이 수직이지만 크기가 2와 3이어서 직교행렬이 아니다. 단위 길이 조건을 함께 확인한다.
회전의 예
두 행 (0,−1),(1,0)인 행렬은 (a,b)를 (−b,a)로 보낸다. 평면에서 원점 중심으로 90도 회전시키며 길이 √(a²+b²)를 바꾸지 않는다. 전치와 곱하면 단위행렬이 된다.
반사도 포함한다
diag(1,−1)은 (a,b)를 (a,−b)로 보내는 반사를 나타내며 직교행렬이다. 따라서 직교행렬이 항상 회전만 나타내는 것은 아니다.
내적 보존
(Qu)·(Qv)=uᵀQᵀQv=u·v이므로 표준 내적이 보존된다. 그 결과 길이와 두 점 사이 유클리드 거리도 유지된다. 여기서는 실수 공간을 전제로 하며 복소수 공간의 유니터리 행렬과 구별한다.