행과 열을 연결해 조절하기
양의 대각행렬 D를 정하고 A의 왼쪽에는 D⁻¹, 오른쪽에는 D를 곱한다. 각 행과 열의 크기를 서로 독립적으로 바꾸는 것이 아니라 닮음 변환이 되도록 연결한다. 행과 열의 1 노름 크기를 비슷하게 만드는 방식이 대표적이다. 이 과정은 새로운 관측 자료를 추가하거나 행렬의 고유값을 원하는 값으로 수정하는 작업이 아니다.
두 변수의 스케일 예제
A의 두 행이 (1,64),(1/64,2)이고 D의 대각 원소가 64,1이라고 하자. D⁻¹AD의 두 행은 (1,1),(1,2)가 된다. 원래 비대각 원소의 큰 차이가 사라지고, 변환 후 각 행의 절댓값 합은 각각 해당 열의 합과 같아진다. 두 행렬의 특성다항식은 모두 λ²-3λ+1이므로 고유값도 같다.
고유벡터를 복원하기
Bv=λv이고 B=D⁻¹AD이면 A(Dv)=λ(Dv)이다. 따라서 균형화한 행렬의 고유벡터 v를 원래 좌표에서 쓰려면 Dv로 변환해야 한다. 고유값이 같다는 사실이 고유벡터 좌표도 같다는 뜻은 아니다. D가 직교 행렬이 아니면 벡터 길이와 각도 역시 그대로 보존되지 않을 수 있다.
평형화와 효과의 확인
선형 연립방정식의 행렬 평형화는 일반적으로 서로 다른 행·열 스케일을 쓸 수 있어 고유값 보존을 요구하는 균형화와 구분해야 한다. 균형화가 모든 문제의 수치 오차를 항상 줄인다고 보장되지는 않는다. 사용한 스케일과 순열을 기록하고 원래 문제로 되돌린 고유벡터의 잔차도 확인한다. 변환 후 숫자 크기가 비슷해 보인다는 사실만으로 정확도가 높아졌다고 판단하지 않는다.