평균에 구간 길이를 곱하는 이유
균등분포로 뽑은 X에 대한 f(X)의 평균은 구간 전체에서의 함수 평균을 나타낸다. 적분은 그 평균에 구간 길이를 곱한 값이다. [0,1]에서는 길이가 1이라 드러나지 않지만 다른 구간에서 이 계수를 빠뜨리면 값이 달라진다.
한 표본 묶음으로 계산하기
[0,2]에서 f(x)=x²를 적분한다고 하자. 표본점이 0.2, 0.6, 1.4, 1.8로 관측된 경우를 예로 들면 함숫값의 합은 5.6, 평균은 1.4다. 구간 길이 2를 곱한 추정값은 2.8이며 정확한 적분값 8/3과 차이가 있다. 이는 한 표본 묶음의 계산 예제다.
표본 수와 오차의 관계
독립 표본이고 분산이 유한한 기본 설정에서는 표준오차가 대체로 표본 수의 제곱근에 반비례한다. 표준오차를 절반으로 줄이려면 표본 수를 대략 네 배로 늘려야 한다. 다만 매번 실현된 절대 오차가 단조롭게 줄어든다는 뜻은 아니다.
차원이 높을 때의 활용
기본 수렴 차수는 차원에 직접 의존하지 않지만 오차의 상수와 함수의 분산은 문제에 따라 달라진다. 저차원에서 매끄러운 함수를 적분할 때는 일반 구적법이 더 효율적일 수 있다. 표본을 균등하게 뽑지 않았다면 같은 단순 평균 공식을 무조건 적용하지 말고 표본 분포에 맞는 가중치를 고려해야 한다.