제한된 벡터들의 길이 보존
s개 이하의 0이 아닌 성분을 가진 모든 x에 대해 (1−δₛ)‖x‖²₂≤‖Ax‖²₂≤(1+δₛ)‖x‖²₂를 요구한다. 특정 표본 벡터 몇 개에서만 오차가 작다는 것보다 강한 조건이다. δₛ는 제곱 길이의 왜곡을 제한하므로 길이 자체의 상대 오차와 같은 숫자로 읽지 않는다.
열의 길이만 맞추면 부족함
A의 두 열이 둘 다 (1,0)ᵀ라고 하자. 각 열의 길이가 1이므로 성분 한 개만 있는 벡터의 길이는 정확히 보존한다. 하지만 x=(1,−1)ᵀ는 길이가 √2인데 Ax=0이다. 따라서 1차 조건이 맞아도 2차 조건에서 δ₂<1을 만족하지 못한다. 서로 다른 희소 계수가 같은 측정을 만들 수 있는 예다.
차수가 높아야 하는 이유
각각 s희소인 두 벡터의 차이는 최대 2s희소다. 2s차 RIP에서 δ₂ₛ<1이면 두 벡터 차이가 0이 아닌 한 측정 차이도 0일 수 없으므로 해당 희소 클래스에서 유일성을 얻는다. 특정 복원 알고리즘의 성공을 보장하려면 여기에 더 강한 상수 조건 등이 필요할 수 있다.
조건과 검사의 구별
RIP는 희소 복원에 유용한 충분조건을 제공하지만 모든 성공 사례에 반드시 필요한 한 가지 조건이라고 해석하지 않는다. 일부 무작위 행렬 모형에서는 높은 확률의 조건을 증명할 수 있다. 실제 큰 행렬에서 모든 희소 지지 집합을 검사하는 일은 별도로 어려우므로 열을 정규화했다는 사실만으로 RIP가 확인됐다고 말할 수 없다.