끝점 대신 가운데를 선택한다
한 구간에서는 함숫값 하나로 높이를 정한다. 적분할 함수가 음수인 부분에서는 직사각형의 기여도 음수가 되므로 단순한 양의 기하학적 넓이와 구분한다. 함수의 변화가 있으면 중점 높이가 구간 전체를 정확히 대표하지 못할 수 있다.
분할 수를 늘려 계산하기
f(x)=x²를 0부터 2까지 적분하자. 한 구간의 중점은 1이므로 근삿값은 2다. 두 구간으로 나누면 중점이 1/2과 3/2이고 근삿값은 1/4+9/4=5/2다. 네 구간에서는 21/8이 된다. 정확한 적분값은 8/3이다.
사다리꼴과 오차 방향을 비교하기
이 예제에서 한 구간 사다리꼴 값은 4로 실제 값보다 크고 중점 값 2는 작다. 두 근사 가운데 어느 쪽이 항상 더 큰지는 함수에 따라 달라진다. 예를 들어 함수에 -1을 곱하면 값과 오차의 부호도 함께 바뀐다.
심프슨 공식으로 결합하기
한 구간의 중점 근사를 M, 같은 구간의 사다리꼴 근사를 T라고 하면 (2M+T)/3은 심프슨 공식이다. 예제에서는 (2×2+4)/3=8/3을 얻는다. 이차 함수에서 정확히 맞았다는 사실을 모든 함수에 대한 무오차 보장으로 확장하면 안 된다.