유한 구간을 무한 구간으로
−1부터 1까지의 적분에서 x=φ(t)=tanh((π/2)sinh t)로 둔다. t가 양의 무한대로 가면 x는 1,음의 무한대로 가면 −1에 가까워진다. 적분은 ∫_{−∞}^∞ f(φ(t))φ′(t)dt로 바뀐다. 도함수는 φ′(t)=(π/2)cosh t/cosh²((π/2)sinh t)다. 변수만 바꾸고 이 도함수 인자를 빼면 원래 적분과 다른 계산이 된다.
끝점 근처에 모이는 평가점
t축에서 같은 간격 h로 점을 잡으면 x축의 평가점은 양 끝에 촘촘하게 모인다. 변환된 함수가 양쪽에서 빠르게 감소하는 조건에서는 hΣ f(φ(kh))φ′(kh) 형태의 사다리꼴 합을 유한 범위에서 계산할 수 있다. 간격 h를 줄이는 오차와 합을 중간에서 끊는 오차는 별개다. 어느 함수에서나 같은 속도로 수렴한다고 보장하지 않는다.
적분 가능한 특이점의 예
f(x)=1/√(1−x²)는 −1과 1에서 커지지만 적분값은 π다. x=sin θ로 직접 치환하면 적분이 −π/2부터 π/2까지의 1의 적분이 되어 이를 확인할 수 있다. tanh-sinh는 이런 끝점 특이성을 가진 적분에 사용할 수 있다. 반면 적분 자체가 발산하는 함수에 적용했다고 유한한 정적분이 생기지는 않는다.
수치 계산에서 확인할 조건
구간 내부의 불연속이나 특이점은 별도 분할을 고려한다. 부동소수점 반올림으로 평가점이 끝점과 같아지거나 변환 인자에 매우 크고 작은 값이 함께 나타날 수도 있다. 반환된 오차 추정치는 실제 오차의 엄밀한 상한과 구분한다. 진동이 심하거나 양수와 음수의 상쇄가 큰 경우에는 종료 상태와 계산 정밀도를 함께 검토하고, 기준값이나 다른 관계식으로 검산한다.