강체변환의 수반 표현

4×4 변환을 그대로 곱할 수 없다

점의 동차좌표는 4성분이어서 강체변환행렬 T로 바꿀 수 있다. 트위스트는 6성분이므로 같은 곱을 그대로 적용하면 차원부터 맞지 않는다. T의 회전 R과 이동 p로부터 별도의 6×6 행렬 Ad_T를 구성해야 한다. 이는 강체변환을 여섯 속도 성분에 작용시키는 표현이지,원래 변환행렬을 단순히 확대 복사한 배열이 아니다.

회전과 기준점 이동의 결합

트위스트를 (ω,v) 순서로 놓으면 Ad_T의 블록은 위쪽이 (R,0),아래쪽이 ([p]×R,R)이다. [p]×는 p와의 외적을 나타내는 행렬이다. 따라서 ω′=Rω,v′=p×(Rω)+Rv다. 선형 성분을 Rv만으로 바꾸면 기준점이 달라진 효과를 놓친다. 이 식의 p와 R이 어느 좌표계를 어디로 바꾸는지 함께 정해야 한다.

회전이 없는 좌표 변환의 예

R=I,p=(0,1,0)이고 원래 트위스트가 ω=(0,0,1),v=(0,0,0)이면 새 각속도는 같지만 새 선형 성분은 p×ω=(1,0,0)이다. 좌표계 방향은 바뀌지 않아도 원점이 달라지면 v가 바뀔 수 있다. 반대로 ω=0인 순수 이동에서는 이 외적 항이 0이라 v′=Rv로 단순해진다.

합성 순서와 명칭

수반 표현은 Ad_(T₁T₂)=Ad_(T₁)Ad_(T₂)라는 합성 관계를 따른다. 역변환에는 Ad_(T⁻¹)=(Ad_T)⁻¹를 사용한다. 트위스트를 (v,ω) 순서로 저장하면 블록 배치도 달라지므로 성분 순서를 맞춘다. 여기서 말하는 수반 표현은 여인수로 만드는 고전적 수반행렬이나 단순한 행렬 전치와 다른 개념이다.