수렴하는 대표 예
1−1/2+1/3−1/4+…은 교대 조화급수다. 항의 크기 1/n은 감소하면서 0으로 가므로 교대급수 판정법으로 수렴을 알 수 있다. 모든 항을 양수로 바꾼 조화급수는 발산하므로 부호의 역할이 중요하다.
판정법의 조건
bₙ이 음이 아니고 충분히 뒤에서 비증가하며 0으로 갈 때 교대급수는 수렴한다. 크기가 0으로 가는 것만 따로 확인해서는 이 판정법의 조건을 모두 확인한 것이 아니다.
부분합의 오차
크기가 비증가하며 0으로 가는 교대급수에서 N항까지 더한 값과 실제 합의 차이는 다음 항의 크기 이하이다. 이 성질은 근삿값 계산에 쓸 수 있다. 모든 부호가 섞인 급수에 같은 오차 한계를 적용하지는 않는다.
발산하는 경우
1−1+1−1+…의 부분합은 1과 0을 반복하므로 보통의 급수 의미로는 수렴하지 않는다. 항 자체도 0으로 가지 않는다. 교대하는 모양이 비슷하더라도 크기 조건을 빼고 결론을 옮길 수 없다.