형식적인 기호 x
다항식환의 x는 특정한 숫자를 미리 뜻하지 않는다. 다항식의 동등성은 모든 차수의 계수가 같은지로 정한다. 무한히 많은 항을 허용하는 형식적 멱급수와도 다르며, x⁻¹ 같은 음의 지수는 보통의 R[x]에 들어가지 않는다.
계수환이 연산을 결정
ℤ[x]에서는 (x+1)²=x²+2x+1이다. 𝔽₂[x]에서는 같은 전개에서 2=0이므로 x²+1이 된다. 다항식의 덧셈과 곱셈에서도 계수환이 어디인지를 먼저 정해야 한다.
다항식과 함수의 차이
𝔽₂[x]의 x²−x는 0이 아닌 다항식이지만 𝔽₂의 원소 0과 1을 대입하면 모두 0이 된다. 따라서 서로 다른 형식적 다항식이 같은 함수를 나타낼 수 있다. 특히 유한체에서는 함수값이 같다는 이유만으로 다항식 자체가 같다고 결론 내릴 수 없다.
체 위의 한 변수
K가 체이면 K[x]에서는 차수에 따른 나눗셈이 가능하여 유클리드 정역이 된다. 이 결과를 계수가 임의의 환인 경우로 바로 확장할 수는 없다. 예를 들어 ℤ[x]에서는 최고차항 계수가 역원을 갖지 않을 수 있어 같은 나눗셈 방식이 항상 성립하지 않는다.