유한이라는 말의 범위
ℚ(√2)는 ℚ 위에서 {1,√2}를 기저로 갖는 차수 2의 수체다. 모든 유리수를 포함하므로 원소는 무한히 많다. 수체 정의의 유한성은 원소 개수가 아니라 벡터공간의 차원에 대한 조건이다.
원시원소로 표현
모든 수체는 어떤 대수적 수 α 하나를 골라 ℚ(α)로 표현할 수 있다. α를 택하는 방식은 유일하지 않다. 예를 들어 ℚ(√2)=ℚ(1+√2)다. 원소는 유리수와 α를 사칙연산해 얻지만 분모는 0이 아니어야 한다.
대수적 정수 부분
수체 안에서 일계수 정수다항식의 근인 원소들을 모으면 그 수체의 정수환을 얻는다. ℚ 안에서는 ℤ가, ℚ(i) 안에서는 가우스 정수환 ℤ[i]가 이에 해당한다. 수체 전체와 그 안의 정수환은 서로 다른 구조이므로 구분해야 한다.
같은 차수의 다른 체
ℚ(√2)와 ℚ(√3)은 모두 차수 2이지만 같은 부분체는 아니다. 전자에 √3이 있다고 가정해 a+b√2로 쓰고 제곱하면 유리수 a,b에 관한 불가능한 조건을 얻는다. 차수는 중요한 정보지만 그것 하나로 수체를 완전히 식별하지는 못한다.
관련 문서
체의 확대 / 유리수 / 대수적 원소 / 대수적 정수 / 원시원소 (체론) / 가우스 정수 / 유한체 / 체의 표수 / 벡터공간