부분별 양을 합하기
변화하는 비율을 작은 구간마다 대표값과 구간 길이의 곱으로 계산해 더할 수 있다. 적절한 극한으로 이 누적을 정의하는 것이 리만 적분의 기본 생각이다.
구간을 몇 조각으로 나눈 수치 계산은 적분값의 근사다. 어떤 함수를 어떤 방법으로 나누어 계산하는지에 따라 오차와 수렴 특성이 달라질 수 있다.
넓이와 부호
정적분은 함수가 양인 부분과 음인 부분의 기여를 부호와 함께 더한다. 따라서 정적분이 0이라고 해서 그래프와 가로축 사이의 전체 기하학적 넓이도 0인 것은 아니다.
속도를 시간에 대해 적분하면 부호를 가진 위치 변화와 연결된다. 이동 거리 전체를 구할 때에는 속도의 절댓값을 고려하는 등 원하는 물리량을 먼저 구별해야 한다.
원시함수와 기본정리
구간에서 미분하면 주어진 함수가 되는 함수를 원시함수라고 한다. 같은 연결된 구간에서 두 원시함수는 상수만큼 차이가 날 수 있다.
연속 함수 등 기본정리의 조건을 만족하면 원시함수의 끝점 값 차이로 정적분을 계산할 수 있다. 정적분과 부정적분을 연결하는 이 관계가 계산의 중요한 도구다.
범위와 방법의 확장
일변수 구간을 넘어 평면이나 공간의 영역, 곡선과 곡면 위에서 양을 누적하는 적분도 있다. 누적 대상과 적절한 길이·넓이·부피 요소를 함께 정의한다.
모든 함수와 범위에 적분값이 자동으로 존재하는 것은 아니다. 무한 구간이나 특이점이 있는 문제에서는 수렴 조건을 확인해야 하며 적분의 정의에 따라서도 다루는 범위가 달라질 수 있다.