부호를 상쇄해 더하지 않는다
행 기준에서는 각 행의 대각 원소 절댓값을 같은 행의 비대각 원소 절댓값 합과 비교한다. 나머지 원소가 3과 -3이라면 비교할 합은 0이 아니라 6이다. 행에 큰 수가 하나 있다는 설명만으로 대각 우세를 판정할 수는 없다.
행과 열의 판정이 다를 수 있다
두 행이 (4,3), (1,2)인 행렬은 행 기준에서 4 > 3, 2 > 1이므로 엄격하다. 하지만 두 번째 열에서는 대각값 2가 비대각값 3보다 작다. 따라서 이 행렬은 열 기준 엄격한 대각 우세가 아니다. 대칭행렬이 아닌 경우 두 기준을 동일하게 취급하지 않는다.
등호를 허용하면 결과가 달라진다
두 행이 (1,-1), (-1,1)인 행렬은 각 행의 비교가 1 = 1이다. 약한 대각 우세지만 벡터 (1,1)을 곱하면 영벡터가 되어 특이하다. 엄격한 대각 우세에서 얻는 가역성 결론을 등호가 있는 모든 행렬에 그대로 적용하면 안 된다.
충분조건과 필요조건
엄격한 행 또는 열 대각 우세는 가역성을 보장하는 충분조건이다. 역은 성립하지 않는다. 두 행이 (1,2), (3,4)인 행렬은 첫 행의 조건을 만족하지 않지만 행렬식이 -2이므로 가역이다. 조건을 만족하지 않는 것과 선형계가 풀리지 않는다는 판단은 구분한다.
관련 문서
행렬 / 역행렬 / 행렬식 / 대칭행렬 / 야코비 반복법 / 가우스 자이델 반복법 / 스펙트럼 반지름 / LU 분해