계수에서 행렬로
다항식의 계수를 최고차항부터 순서대로 a0,a1,…,an이라 하고 a0≠0이라고 하자. 한 가지 표준 형태는 첫 행에 -a1/a0,…,-an/a0를 놓고 바로 아래 대각선에 1을, 나머지에 0을 놓는다. 같은 다항식에도 전치된 형태 등 다른 관례를 사용할 수 있으므로 계수의 순서와 행렬 형태를 확인해야 한다.
이차 다항식의 예제
p(t)=t²-3t+2에 대한 동반 행렬 C의 두 행은 (3,-2),(1,0)이다. det(tI-C)는 (t-3)t+2=t²-3t+2이므로 고유값은 1과 2다. p(λ)=0이면 C(λ,1)ᵀ=(3λ-2,λ)ᵀ=(λ²,λ)ᵀ=λ(λ,1)ᵀ이므로 고유벡터 관계도 직접 확인할 수 있다.
점화식과 연결하기
수열이 uk+2=3uk+1-2uk를 만족하면 상태를 (uk+1,uk)ᵀ로 놓아 다음 상태를 C배로 나타낼 수 있다. 이때 C는 앞 예제의 동반 행렬과 같다. 두 단계의 과거값이 필요한 점화식을 일차적인 벡터 갱신으로 바꾸는 것이다. 수열의 초기값까지 행렬 자체가 정해 주는 것은 아니므로 처음 상태를 별도로 제공해야 한다.
계수와 오차의 해석
최고차항 계수가 0이면 먼저 실제 차수를 확인해야 한다. 차수가 높거나 계수 크기가 크게 다르면 근이 계수 변화에 민감할 수 있다. 고유값 계산이 끝났다는 사실만으로 다항식의 모든 근이 정확하다고 단정할 수는 없다. 원래 다항식에 근 후보를 대입해 잔차를 확인하되, 중복근 부근 등에서는 잔차와 근의 위치 오차를 구분한다.