분자 모수가 없는 급수
(b)_n은 상승 계승이고 n!은 계승이다. 처음 몇 항은 1+z/b+z²/(2b(b+1))+⋯다. b가 0이나 음의 정수이면 분모에 0이 생길 수 있으므로 이 기본 급수를 그대로 적용하지 않는다. 분자 모수가 하나 있는 ₁F₁과는 기호뿐 아니라 급수 계수도 다르다. 아래첨자 0과 1은 각각 분자 모수와 분모 모수의 개수를 나타낸다.
차수별 계수와 미분방정식
급수에서 zⁿ의 계수를 c_n이라고 하면 c_(n+1)=c_n/((b+n)(n+1))이다. 따라서 (n+1)(n+b)c_(n+1)=c_n이며 계수별로 비교하면 zf″+bf′−f=0을 얻는다. 이 식에서 f″ 앞의 z를 빼면 다른 방정식이 된다. 예를 들어 b=2이면 f′(0)=1/2이고 f″(0)=1/6이다. 계수와 도함수 사이에는 n!이 들어간다는 점도 함께 확인한다.
베셀 함수로 보는 특수형
정수 n≥0과 실수 x에 대해 J_n(x)=(x/2)^n ₀F₁(;n+1;−x²/4)/n!이다. n=0이면 J₀(x)=₀F₁(;1;−x²/4)가 된다. 따라서 x=2에서는 ₀F₁(;1;−1)을 계산하는 것과 같다. 이 관계를 사용할 때 입력의 제곱, 음의 부호, 분모의 4를 함께 반영해야 한다. x를 그대로 초기하 함수의 인수로 넣으면 같은 값을 얻지 못한다.
극한이라는 이름의 의미
고정된 b,z와 적절한 모수 조건에서 ₁F₁(q;b;z/q)는 q가 커질 때 ₀F₁(;b;z)로 이어진다. 단순히 첫 모수만 크게 만드는 것이 아니라 인수도 z/q로 함께 조절한다. 한편 b=1이면 급수는 Σzⁿ/(n!)²로 단순해진다. z=1에서 처음 세 항의 합은 1+1+1/4=2.25이며 이후 양의 항이 더해진다. 유한 부분합을 함수의 정확한 값과 혼동하지 않는다.